25. Выбор формы модели косвенного контроля. Метод наименьших квадратов и его  свойства.

 

IV этап: построение модели косвенного контроля.

Форма модели косвенного контроля.

Сформируем следующую постановку задачи.

В пространстве ограниченного количества измеряемых ИС параметров  необходимо построить модель  и для упрощения этой процедуры рассмотрим два вспомогательных вопроса: выбор структуры (формы) модели  и критерия достоверности модели .

Каким бы ни был вид функции , её нужно сконструировать таким образом, чтобы неизвестные коэффициенты этой функции относительно min критериев достоверности модели определялись простым путем.

Чаще всего для этого используют суперпозицию типовых функций, например степенных:

Существует несколько возможных подходов к решению поставленной задачи в зависимости от типа критерия достоверности:

 - неизвестный вектор  определяется из решения вспомогательной системы линейных уравнений.

 - неизвестный вектор  определяется путем решения вспомогательной задачи линейного программирования.

Использование критерия  и формы модели  по существу составляет основу хорошо известного метода наименьших квадратов. Задача построения модели осуществляется в цикле: линейная модель , квадратичная, кубическая и т.д., пока не достигнем заданной точности:

Продемонстрируем метод наименьших квадратов на простом примере. Пусть ищется модель типа полинома степени m.

Искомые коэффициенты полинома определяются из условия:

Дифференцируя по  и приравнивая значения всех производных нулю, получим систему линейных уравнений (переобозначим )

 

Для получения искомого вектора  необходимо произвести обращение матрицы одним из стандартных способов.

Заметим, что при другой форме модели задачу минимизации  и поиска вектора  приходится решать поисковым методом численной оптимизации, что значительно сложнее. Поэтому её обычно решают в интерактивном режиме, когда пользователь имеет возможность варьировать форму модели, число параметров, типы критериев, методы оптимизации и т.д.

 

Погрешность модели косвенного контроля имеет три составляющие:

Составляющая погрешности измерения  является взвешенной суммой погрешностей отдельных измерений и вклада в модель