31. Статистические методы
диагностики.
Все статические критерии трактуют следующим образом: в
окрестности всякого диагностируемого состояния N (“норма”) или A (“не норма”) параметры состояния
распределены по некоторому статистическому закону, и поэтому мы заранее согласны
с тем, что имеется некоторая вероятность ошибки, которую мы будем
минимизировать. Получаемые результаты зависят от ряда упрощающих предположений
(априорные вероятности состояний 
, 
, цена допускаемой ошибки 
) и статистических характеристик самого вероятностного
распределения (например, в ряде случаев для этого достаточно определить
математическое ожидание 
и дисперсию 
- для одномерного
случая; - либо вектор математических ожиданий 
и ковариационную
матрицу 
- для многомерных
распределений).
Рассмотрим разные случаи (одномерный, 2х-мерный, многомерный) по мере усложнения.
10.4.1. Одномерный случай – пусть в области изменения
параметра X возможны два состояния: (норма – не норма), для каждого из
которых известны законы распределения вероятностей 
.
Рисунок 10.3
Как правило, эти вероятности имеют соответствующий максимум 
в точках 
и 
, и существует некоторая область изменения x, в которой с некоторой
вероятностью возможны одновременно оба состояния (например, для значения 
имеем 
и 
). На рисунке эта область заштрихована. Диагностическое
правило в этом простом случае стремятся получить в таком виде:
Заметим, что 
может быть отнесен к состоянию “авария”, но это несущественно.
Если выбор 
осуществляется по
критерию минимального среднего риска (средних потерь от неправильной диагностики),
то имеет место следующая система соотношений [
]:
Здесь 
и 
- априорные вероятности
событий 1-норма и 2-авария, 
и 
- потери от ошибочной
классификации (объект класса «1» отнесен к классу «2» и наоборот), и - потери (затраты) при
правильных решениях.
Отношение 
принято называть
коэффициентом правдоподобия.
Если считать, что параметр x распределен по нормальному вероятностному закону, то
Тогда искомое определяется из соотношения:
и далее находим, что
Для практического использования имеют значения два наиболее распространенных случая:
а) при одинаковых дисперсиях 
имеем
б) если матрицы цен и априорные вероятности выбраны так, что
, то при одинаковых дисперсиях имеем:
Таким образом, статистическая диагностика в одномерном случае сводится к правилу:
где значение вычисляется по
несколько разным формулам, которые удобно привести к общему виду:
,
Здесь значение поправки 
зависит от ряда дополнительных
предположений, что удобно при адаптивных настройках: 
на ряде шагах
процедуры адаптации, в т.ч. при использовании рекуррентного алгоритма обучения:
