39. Многомерные статистические методы диагностики.

 

Будем, как и ранее, считать, что для распознавания двух произвольных состояний объекта  и  в окрестности вектора измерений  выполняется многомерный нормальный закон распределения с заданными априорными вероятностями  и  и основными статистическими характеристиками: вектором математических ожиданий  и соответственно ковариационными матрицами , . В ряде работ показано, что по критерию минимальных средних потерь уравнение границы областей удовлетворяет условию (при равных ценах) (НЛДФ) квадратичная форма:

(ЛДФ) при

или иначе для ЛДФ:

Здесь  - элементы обратной ковариационной матрицы , а величина порога  определяется различными предположениями (априорные вероятности, цены, законы распределения и их параметры).

Как и ранее для одномерного случая, эти уравнения приводятся к рекуррентной форме.

Очень часто мы заранее не знаем типа распределения и тогда достаточно часто используется адаптивный подход: задаемся видом функции  и предъявляем обучающей системе точки состояний  и , последовательно уточняя коэффициенты . Для случая ЛДФ в многомерном пространстве и при нескольких диагностируемых состояниях алгоритм описаний в [___].

Аналогично работает и процедура классификации на базе кластер-анализа. При этом необходимо задаться мерами расстояний текущих значений точки  от центра кластеров  и  соответственно. Сравнивая каждый раз соответствующие  между собой, мы принимаем решение в пользу того состояния, для которого  меньше. Заметим, что уравнение границы между состояниями остается неизвестным. Из всех используемых мер расстояний (евклидова мера, взвешенное евклидово расстояние, степенное расстояние (мера Минковского) и др.) наиболее точные результаты классификации получают использованием меры, называемой расстоянием Махаланобиса, которое наилучшим образом приближает равноудаленную точку и сводит процент ошибочных классификаций к минимуму [___]:

Необходимость на каждом шаге вычислять  значительно сложнее, чем определять знак .

Вернемся теперь к двумерному случаю.

В работе [__] показано, что для многомерного нормального закона распределения в пространстве двух параметров  и  может быть аналитически получена функция формы НЛДФ () от знака которой зависит искомый вид разделяющей кривой  для двух состояний 1 и 2:

;

Здесь сделано предположение равенства коэффициента корреляции  в обоих состояниях (1, 2).

Вид НЛДФ зависит от  знака :

, форма НЛДФ есть эллипс

, форма НЛДФ – парабола

, форма НЛДФ – гипербола.

Заметим, что при изменении R в диапазоне (0,1) парабола имеет место лишь в точке  для которой , во всех остальных случаях разделяющая кривая либо эллипс, либо гипербола. Случай линейной границы (ЛДФ) соответствует при этом  независимо от изменения R во всем диапазоне (от 0 до 1) возможных значений коэффициентов корреляции при одинаковых дисперсиях.

Примеры определения границ разделяющих поверхностей прямым построением кривых распределения вероятностей приведены ниже на ряде иллюстративных рисунков.

 

 

Различные адаптивные процедуры классификации и построения  при неизвестных законах распределения и неточных значениях параметров рассмотрены в [____]. В многомерных случаях наилучшие результаты получены при кусочно-линейной аппроксимации исходной НЛДФ.